เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์

ช่วงแรกที่พำนักในเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก (ค.ศ. 1727–1741)

บุตรชายสองคนของโยฮัน แบร์นุลลี ดานีเอลและนิโคเลาส์ได้เข้ารับราชการที่สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งจักรวรรดิรัสเซีย ณ เซนต์ปีเตอส์เบิร์ก ใน ค.ศ. 1725 โดยให้คำมั่นแก่อ็อยเลอร์ว่าจะช่วยแนะนำให้ได้ในตำแหน่งเมื่อมีโอกาส^[22] เมื่อวันที่ 31 กรกฎาคม ค.ศ. 1726 นีโคเลาส์เสียชีวิตลงด้วยภาวะไส้ติ่งอักเสบ หลังจากใช้เวลาอยู่ในรัสเซียได้ไม่ถึงหนึ่งปี^[25][26] เมื่อดานีเอลเข้ารับตำแหน่งของพี่ชายในแผนกวิชาคณิตศาสตร์–ฟิสิกส์ จึงได้เสนอให้ตำแหน่งด้านสรีรวิทยาที่ว่างอยู่นั้น มอบให้แก่อ็อยเลอร์ผู้เป็นเพื่อน^[22] ในเดือนพฤศจิกายน ค.ศ. 1726 อ็อยเลอร์ได้ตอบรับข้อเสนอนี้อย่างกระตือรือร้นแต่ได้เลื่อนการเดินทางไปเซนต์ปีเตอส์เบิร์กออกไป ในขณะที่ยื่นสมัครตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์ที่มหาวิทยาลัยบาเซิลแต่ไม่ประสบความสำเร็จ^[22]

อ็อยเลอร์เดินทางถึงเซนต์ปีเตอส์เบิร์กในเดือนพฤษภาคม ค.ศ. 1727^[22][19] โดยได้รับการเลื่อนตำแหน่งจากตำแหน่งระดับต้นในแผนกวิชาการแพทย์ของสถาบันสู่ตำแหน่งในแผนกวิชาคณิตศาสตร์ และได้พำนักอยู่ร่วมกับดานีเอล แบร์นุลลีและทำงานร่วมกันอย่างใกล้ชิด^[27] อ็อยเลอร์สามารถใช้ภาษารัสเซียได้อย่างชำนาญ ปรับตัวเข้ากับวิถีชีวิตในเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก และรับงานเพิ่มเติมเป็นแพทย์กองทัพเรือรัสเซียอีกด้วย^[28]

สถาบันแห่งเซนต์ปีเตอส์เบิร์กก่อตั้งโดยจักรพรรดิปีเตอร์มหาราชซึ่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อยกระดับการศึกษาในรัสเซียและลดช่องว่างทางวิทยาศาสตร์กับยุโรปตะวันตก ด้วยเหตุนี้ จึงทำให้สถาบันแห่งนี้มีความน่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับนักวิชาการต่างชาติ อาทิ อ็อยเลอร์^[24] จักรพรรดินีนาถเยกาเจรีนาที่ 1 ผู้ทรงอุปถัมภ์แห่งสถาบันและผู้ทรงสืบสานนโยบายความก้าวหน้าของพระสวามีผู้สวรรคตก่อนที่อ็อยเลอร์จะเดินทางมาถึงเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก^[29] ต่อมา ชนชั้นขุนนางฝ่ายอนุรักษนิยมของรัสเซียได้ขึ้นสู่อำนาจภายหลังการขึ้นครองราชย์ของจักรพรรดิปิออตร์ที่ 2 แห่งรัสเซีย ขณะนั้นมีพระชนมายุเพียง 12 พรรษา^[29] ชนชั้นขุนนางซึ่งไม่ไว้วางใจนักวิทยาศาสตร์ชาวต่างชาติของสถาบันได้ตัดงบประมาณของอ็อยเลอร์และเพื่อนร่วมงาน อีกทั้งยังขัดขวางการรับนักเรียนชาวต่างชาติและนักเรียนที่ไม่ใช่ชนชั้นสูงเข้าสู่สถาบันกืมนาซีอุม^[ง]และมหาวิทยาลัย^[29]

สถานการณ์ดีขึ้นเล็กน้อยภายหลังการสิ้นพระชนม์ของจักรพรรดิปิออตร์ที่ 2 ใน ค.ศ. 1730 และการขึ้นสู่อำนาจซึ่งได้รับอิทธิพลจากเยอรมนีของจักรพรรดินีนาถอันนาแห่งรัสเซีย^[31] อ็อยเลอร์ก้าวหน้าในตำแหน่งในสถาบันอย่างรวดเร็วและได้รับการแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์ใน ค.ศ. 1731^[31] และได้ลาออกจากกองทัพเรือรัสเซีย โดยปฏิเสธการเลื่อนยศเป็นนายเรือเอก^[31] สองปีต่อมา ดานีเอล แบร์นุลลีซึ่งทนต่ออำนาจการตรวจสอบและความเป็นปรปักษ์ที่เผชิญในเซนต์ปีเตอส์เบิร์กไม่ไหวจึงเดินทางกลับไปยังบาเซิล อ็อยเลอร์จึงได้ขึ้นรับตำแหน่งหัวหน้าแผนกวิชาคณิตศาสตร์แทน^[32] ในเดือนมกราคม ค.ศ. 1734 ได้สมรสกับคาทารีนา เกสเซล (ค.ศ. 1707–1773) บุตรีของเกออร์ก เกสเซล^[33] พระเจ้าฟรีดริชที่ 2 ทรงชักชวนอ็อยเลอร์ให้ไปร่วมงานกับสถาบันแห่งเบอร์ลินที่เพิ่งก่อตั้งขึ้นใหม่ในพระองค์ใน ค.ศ. 1740 แต่อ็อยเลอร์ในระยะแรกยังคงต้องการอยู่ที่เซนต์ปีเตอส์เบิร์ก^[34] แต่ภายหลังจากการสวรรคตของจักรพรรดินีนาถอันนาและพระเจ้าฟรีดริชที่ 2 ตกลงการพระราชทานค่าตอบแทนจำนวน 1600 เอกู (เทียบเท่ากับที่อ็อยเลอร์ได้รับในรัสเซีย) จึงยินยอมย้ายไปยังเบอร์ลิน และใน ค.ศ. 1741 อ็อยเลอร์ได้ขออนุญาตเดินทางไปเบอร์ลิน โดยให้เหตุผลว่าต้องการสภาพอากาศที่อ่อนโยนกว่าสำหรับสภาพสายตาของตน^[34] สถาบันแห่งรัสเซียได้ให้ความยินยอมและจ่ายเงินให้ปีละ 200 รูเบิลในฐานะสมาชิกประจำสถาบัน^[34]

ช่วงที่พำนักในเบอร์ลิน (ค.ศ. 1741–1766)

ด้วยความกังวลต่อความวุ่นวายที่ยังคงดำเนินอยู่ในรัสเซีย อ็อยเลอร์จึงออกจากเซนต์ปีเตอส์เบิร์กในเดือนมิถุนายน ค.ศ. 1741 เพื่อไปรับตำแหน่งที่สถาบันแห่งเบอร์ลิน ซึ่งได้รับข้อเสนอจากฟรีดริชมหาราชแห่งปรัสเซีย^[35] อ็อยเลอร์ใช้ชีวิตอยู่ในเบอร์ลินเป็นเวลา 25 ปี โดยได้เขียนบทความจำนวนหลายร้อยชิ้น^[19] ใน ค.ศ. 1748 งานเขียนว่าด้วยฟังก์ชันชื่อ Introductio in analysin infinitorum (บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงอนันต์) ได้รับการตีพิมพ์ และใน ค.ศ. 1755 ตำราว่าด้วยแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ชื่อ Institutiones calculi differentialis (รากฐานของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์) ได้รับการตีพิมพ์เช่นกัน^[36][37] ใน ค.ศ. 1755 เป็นผู้ได้รับเลือกเป็นสมาชิกต่างชาติของราชบัณฑิตยสถานแห่งวิทยาศาสตร์สวีเดน^[38] และของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งฝรั่งเศส^[39] ในบรรดาศิษย์ที่มีชื่อเสียงของอ็อยเลอร์ในเบอร์ลิน รวมถึงสเตปัน รูมอฟสกี (Stepan Rumovsky) ผู้ซึ่งภายหลังได้รับการยกย่องว่าเป็นนักดาราศาสตร์ชาวรัสเซียคนแรก^[40][41] ใน ค.ศ. 1748 อ็อยเลอร์ได้ปฏิเสธข้อเสนอจากมหาวิทยาลัยบาเซิลที่เชิญให้ไปดำรงตำแหน่งแทนโยฮัน แบร์นุลลีที่ได้เสียชีวิตลงได้ไม่นาน^[19] ใน ค.ศ. 1753 ได้ซื้อบ้านในชาร์ล็อทเทินบวร์ค ซึ่งได้อาศัยอยู่ร่วมกับครอบครัวและมารดาหม้ายของเขา^[42][43]

อ็อยเลอร์ได้เป็นครูสอนพิเศษให้แด่ฟรีเดอริเคอ ชาร์ล็อทเทอ แห่งบรันเดินบวร์ค-ชเวท (Friederike Charlotte of Brandenburg-Schwedt) เจ้าหญิงแห่งอันฮัลท์-เดสเซา พระราชนัดดาของฟรีดริช โดยได้เขียนจดหมายแด่เจ้าหญิงมากกว่า 200 ฉบับในช่วงต้นคริสต์ทศวรรษ 1760 ซึ่งต่อมาได้รับการรวบรวมเป็นหนังสือเล่มหนึ่งชื่อ จดหมายของอ็อยเลอร์ว่าด้วยวิชาต่าง ๆ ในปรัชญาธรรมชาติส่งให้แด่เจ้าหญิงเยอรมัน (Letters of Euler on different Subjects in Natural Philosophy Addressed to a German Princess)^[44] งานชิ้นนี้ประกอบด้วยการบรรยายของอ็อยเลอร์ในวิชาศึกษาที่ว่าด้วยฟิสิกส์และคณิตศาสตร์และให้ข้อคิดเห็นอันมีคุณค่าเกี่ยวกับบุคลิกภาพและความเชื่อทางศาสนาของเขา หนังสือนั้นได้รับการแปลเป็นหลายภาษา ตีพิมพ์เผยแพร่ทั่วยุโรปและสหรัฐ และได้รับความนิยมในการอ่านโดยทั่วกันมากกว่างานทางคณิตศาสตร์เล่มใด ๆ ของเขา ความนิยมของจดหมายนี้สะท้อนถึงความสามารถของอ็อยเลอร์ในการสื่อสารสาระทางวิทยาศาสตร์ให้แก่ผู้อ่านทั่วไปได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งเป็นความสามารถที่หาได้ยากในหมู่นักวิจัยเฉพาะทาง^[37]

แม้อ็อยเลอร์เป็นผู้มีคุณูปการอย่างยิ่งต่อเกียรติภูมิของสถาบันและได้รับการเสนอชื่อโดยฌ็อง เลอ รง ดาล็องแบร์ ให้เป็นผู้สมัครตำแหน่งประธาน แต่พระเจ้าฟรีดริชที่ 2 กลับทรงแต่งตั้งพระองค์เองเป็นประธาน^[43] กษัตริย์แห่งปรัสเซียทรงมีแวดวงนักปราชญ์จำนวนมากในราชสำนักและทรงตระหนักว่านักคณิตศาสตร์ขาดความประณีตและขาดความรู้นอกเหนือจากสิ่งที่ว่าด้วยตัวเลขและการคำนวณ อ็อยเลอร์เป็นคนเรียบง่าย เคร่งศาสนา ผู้ไม่เคยตั้งคำถามต่อระเบียบสังคมที่มีอยู่หรือความเชื่อดั้งเดิม ในหลายแง่มุม เขาถือเป็นขั้วตรงข้ามของวอลแตร์ ผู้ได้รับการยกย่องอย่างสูงในราชสำนักของพระเจ้าฟรีดริช อ็อยเลอร์ไม่ใช่นักโต้วาทีที่ชำนาญและมักหยิบยกประเด็นที่ตนเองไม่ได้รู้อย่างลึกซึ้งขึ้นมาโต้แย้ง ทำให้เขากลายเป็นเป้าต่อการเสียดสีอันเฉียบคมของวอลแตร์บ่อยครั้ง^[37] นอกจากนี้ พระเจ้าฟรีดริชทรงแสดงความผิดหวังต่อความสามารถด้านวิศวกรรมปฏิบัติของอ็อยเลอร์ โดยมีรับสั่งว่า

ข้าพเจ้ามีพระราชประสงค์ให้มีสายน้ำพุในพระราชอุทยานของข้าพเจ้า อ็อยเลอร์ได้คำนวณแรงของกงล้ออันจำเป็นต่อการยกน้ำขึ้นสู่แหล่งเก็บน้ำ ซึ่งจากที่แหล่งเก็บน้ำนั้นน้ำควรไหลกลับผ่านรางแต่ละรางแล้วจึงพุ่งออก ณ พระราชวังซ็องซูซี อนึ่ง เครื่องจักรของข้าพเจ้าอันสร้างขึ้นตามหลักเรขาคณิตดังกล่าวนั้น หาได้ยกน้ำขึ้นไปใกล้แหล่งเก็บน้ำแม้เพียงระยะห้าสิบก้าวไม่ ความไร้แก่นสารในไร้แก่นสาร! ความไร้แก่นสารในเรขาคณิต!^[45]

อย่างไรก็ตาม ความผิดหวังนั้นแทบแน่นอนว่าไม่สมเหตุสมผลเมื่อพิจารณาจากมุมมองทางเทคนิค การคำนวณของอ็อยเลอร์ดูมีแนวโน้มว่าถูกต้อง แม้การประสานงานกับพระเจ้าฟรีดริชและผู้ที่ดำเนินการก่อสร้างน้ำพุ อาจมีความบกพร่องหรือไม่ราบรื่นก็ตาม^[46]

ตลอดระยะเวลาที่พำนักอยู่ในเบอร์ลิน อ็อยเลอร์ยังคงรักษาความสัมพันธ์อันแน่นแฟ้นกับสถาบันแห่งเซนต์ปีเตอส์เบิร์กและได้ตีพิมพ์ผลงาน 109 ชิ้นในรัสเซีย^[47] และให้ความช่วยเหลือแก่นักศึกษาจากสถาบันเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก ในบางครั้งได้รับนักศึกษาชาวรัสเซียมาอาศัยอยู่ที่บ้านของตนในเบอร์ลินด้วย^[47] ใน ค.ศ. 1760 ขณะที่สงครามเจ็ดปีกำลังดำเนินอยู่ ไร่ของออยเลอร์ในชาร์ล็อทเทินบวร์คถูกกองทัพรัสเซียที่รุกคืบเข้ามาปล้นสะดม^[42] เมื่อพลเอก อีวาน เปโตรวิช ซัลตืยคอฟ (Ivan Petrovich Saltykov) ทราบเหตุการณ์นี้ จึงได้ชดใช้ค่าเสียหายให้แก่ทรัพย์สินของอ็อยเลอร์ และต่อมาจักรพรรดินีนาถเยลีซาเวตาได้พระราชทานเงินเพิ่มเติมอีก 4000 รูเบิล ซึ่งนับเป็นเงินจำนวนมหาศาลในสมัยนั้น^[48] อ็อยเลอร์จึงตัดสินใจย้ายออกจากเบอร์ลินใน ค.ศ. 1766 และเดินทางกลับไปรัสเซีย^[49]

ในช่วงที่พำนักอยู่ในเบอร์ลิน (ค.ศ. 1741–1766) อ็อยเลอร์อยู่ในจุดสูงสุดของการสร้างผลงาน โดยได้เขียนงานทั้งหมด 380 ชิ้น ประกอบด้วย 275 ชิ้นที่ได้รับการตีพิมพ์^[50] รวมถึงบันทึกความทรงจำ 125 ชิ้นในสถาบันแห่งเบอร์ลิน และอีกกว่า 100 ชิ้นที่ส่งไปยังสถาบันแห่งเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก ซึ่งยังคงสถานะสมาชิกไว้และจ่ายเงินบำเหน็จประจำปีแก่เขา ผลงาน Introductio in Analysin Infinitorum ของอ็อยเลอร์ได้รับการตีพิมพ์เป็นสองภาคใน ค.ศ. 1748 นอกจากงานวิจัยของตน อ็อยเลอร์ยังดูแลห้องสมุด หอดูดาว สวนพฤกษศาสตร์ ตลอดจนการจัดพิมพ์ปฏิทินและแผนที่ ซึ่งเป็นแหล่งรายได้ของสถาบัน^[51] อีกทั้งมีส่วนร่วมในการออกแบบน้ำพุที่พระราชวังซ็องซูซี อันเป็นพระราชวังฤดูร้อนของกษัตริย์^[52]

ช่วงที่สองที่พำนักในเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก (ค.ศ. 1766–1783)

สถานการณ์ทางการเมืองในรัสเซียมีเสถียรภาพมากขึ้นภายหลังจากการขึ้นครองราชย์ของเยกาเจรีนามหาราชินี ดังนั้นใน ค.ศ. 1766 อ็อยเลอร์จึงตอบรับคำเชิญให้กลับไปยังสถาบันแห่งเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก โดยเงื่อนไขที่ตั้งนับว่าสูงมาก ได้แก่ เงินประจำปี 3000 รูเบิล บำนาญสำหรับภรรยา และคำมั่นว่าจะให้บุตรชายของเขาได้รับตำแหน่งระดับสูง ที่สถาบัน อ็อยเลอร์ได้รับความช่วยเหลือจากนักศึกษาชื่อ อันเดิช โยฮัน เล็กเซล (Anders Johan Lexell)^[53] ระหว่างพำนักอยู่ในเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก เกิดเหตุเพลิงไหม้ใน ค.ศ. 1771 ซึ่งทำลายบ้านของเขาลง^[54]

ความเสื่อมลงของสายตา

สายตาของอ็อยเลอร์เสื่อมลงเรื่อย ๆ ตลอดเส้นทางอาชีพทางคณิตศาสตร์ของเขา ใน ค.ศ. 1738 สามปีหลังจากเกือบเสียชีวิตลงด้วยโรคไข้หวัด^[61] โดยเกือบตาบอดที่ตาขวา อ็อยเลอร์เชื่อว่าสาเหตุนั้นเกิดจากการทำแผนที่ที่ได้ทำให้กับสถาบันแห่งเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก^[62] แต่สาเหตุที่แท้จริงของการตาบอดนั้นยังคงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่^[63][64] การมองเห็นในตาข้างขวาของอ็อยเลอร์นั้นยิ่งเสื่อมลงมากขึ้นระหว่างที่พำนักอยู่ในเยอรมนี ถึงพระเจ้าฟรีดริชทรงขนานนามว่า "ไซคลอปส์" อ็อยเลอร์กล่าวถึงการสูญเสียการมองเห็นของตนว่า "บัดนี้ ข้าพเจ้าจะมีสิ่งรบกวนน้อยลง"^[62] ใน ค.ศ. 1766 พบว่าเป็นต้อกระจกที่ตาซ้าย แม้การรักษาต้อกระจกแบบดั้งเดิมจะช่วยให้การมองเห็นดีขึ้นชั่วคราว แต่ภาวะแทรกซ้อนเกือบทำให้ตาข้างซ้ายนั้นบอดสนิท^[39] ภาวะดังกล่าวเหมือนจะมีผลต่อความสามารถในการทำงานของเขาเพียงเล็กน้อย ด้วยความช่วยเหลือจากอาลักษณ์ ผลงานของอ็อยเลอร์ในหลายสาขาวิชากลับเพิ่มขึ้น^[65] และใน ค.ศ. 1775 อ็อยเลอร์สามารถผลิตผลงานทางคณิตศาสตร์ได้เฉลี่ยสัปดาห์ละหนึ่งฉบับ^[39]

การเสียชีวิต

เมื่อวันที่ 18 กันยายน ค.ศ. 1783 ณ นครเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก หลังรับประทานอาหารกลางวันร่วมกับครอบครัว ขณะที่อ็อยเลอร์กำลังสนทนาเกี่ยวกับดาวเคราะห์ยูเรนัสที่เพิ่งค้นพบและวงโคจรกับอันเดิช โยฮัน เล็กเซล อ็อยเลอร์ทรุดตัวลงและเสียชีวิตจากภาวะเลือดออกในสมองใหญ่^[63] ยาค็อพ ฟ็อน ชเตลีน [de] (Jacob von Staehlin) ได้เขียนประกาศข่าวการเสียชีวิตที่สั้นให้แก่สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งรัสเซียและนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย นิโคลัส ฟูส (Nicolas Fuss) ผู้เป็นศิษย์ของอ็อยเลอร์ ได้เขียนคำยกย่องที่ละเอียดกว่า^[56] ซึ่งได้กล่าวในพิธีรำลึก ขณะที่คำยกย่องที่เขียนแก่สถาบันแห่งฝรั่งเศส โดยนักคณิตศาสตร์และนักปราชญ์ชาวฝรั่งเศส มาร์กี เดอ กงดอร์เซ (Marquis de Condorcet) ได้เขียนไว้ว่า

... il cessa de calculer et de vivre.

... ท่านได้หยุดที่จะคำนวณและหยุดที่จะมีชีวิตอยู่^[66]

อ็อยเลอร์ถูกฝังไว้ข้างกับคาทารีนา ณ สุสานลูเทอรันสโมเลนสกี (Smolensk Lutheran) บนเกาะวาซิลเยฟสกี (Vasilievsky) ต่อมาใน ค.ศ. 1837 สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งรัสเซียได้สร้างอนุสรณ์สถานใหม่ขึ้นแทนแผ่นป้ายหลุมศพเดิมที่ถูกปกคลุมด้วยพืชพรรณ ใน ค.ศ. 1957 เพื่อเป็นการรำลึกถึงวาระครบรอบวันคล้ายวันเกิด 250 ปี หลุมศพของอ็อยเลอร์ได้ถูกย้ายไปยังสุสานลาซาเรฟสโคเย (Lazarevskoe) ณ อารามอเล็กซานเดอร์ เนฟสกี (Alexander Nevsky)^[67]

อ็อยเลอร์มีชีวิตอยู่ (พ.ศ. 2250 – พ.ศ. 2326) ตรงกับระหว่างรัชสมัยของสมเด็จพระสรรเพชญ์ที่ 8 แห่งกรุงศรีอยุธยา แห่งราชวงศ์บ้านพลูหลวง และพระบาทสมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช ปีที่สองแห่งกรุงรัตนโกสินทร์ แห่งราชวงศ์จักรี

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

อ็อยเลอร์เสนอเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์จำนวนมากผ่านผลงานตำราของเขาที่ได้รับการเผยแพร่อย่างกว้างขวางจนเป็นที่นิยมใช้กันแพร่หลาย ตัวอย่างที่เด่นชัดที่สุดคือ เขาเป็นผู้เสนอความคิดรวบยอดเรื่องฟังก์ชัน^[2] และใช้สัญลักษณ์ f(x) เป็นครั้งแรก ซึ่งมีความหมายว่า ฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่ใช้เข้ากับอาร์กิวเมนต์ x นอกจากนี้ อ็อยเลอร์ยังคิดค้นเครื่องหมายสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน ใช้อักษร e แทนฐานของลอการิทึมธรรมชาติ (ในปัจจุบันเรียกว่าจำนวนของอ็อยเลอร์) ใช้อักษรกรีก Σ (ซิกมา) แทนสัญกรณ์ผลรวมจากการบวกของเซตจำนวน และใช้อักษร i แทนหน่วยจินตภาพ^[68] เป็นต้น นอกจากนี้ อ็อยเลอร์ยังใช้อักษรกรีก π ที่แสดงถึงอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใด ๆ ซึ่งเป็นผลให้เกิดความนิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย แม้ว่าผู้ริเริ่มใช้สัญลักษณ์ π คนแรกคือ วิลเลียม โจนส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเวลส์ก็ตาม^[69]

คณิตวิเคราะห์

การพัฒนาแคลคูลัสกณิกนันต์เป็นหัวข้อวิจัยที่นักคณิตศาสตร์ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 นิยมศึกษามากที่สุด รวมถึงตระกูลแบร์นุลลีซึ่งสนิทสนมกับตระกูลของอ็อยเลอร์ก็มีส่วนสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสในยุคแรกเริ่ม อิทธิพลของตระกูลแบร์นุลลีนี้เองที่ทำให้แคลคูลัสเป็นเป้าหมายสำคัญในงานของอ็อยเลอร์ ถึงแม้ว่าบทพิสูจน์บางข้อของอ็อยเลอร์จะไม่เป็นที่ยอมรับตามมาตรฐานความเคร่งครัดทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน^[70] (โดยเฉพาะการอาศัยหลักสภาพนัยทั่วไปของพีชคณิต) ซึ่งแนวคิดของเขาได้นำไปสู่ความก้าวหน้าครั้งสำคัญมากมาย อ็อยเลอร์เป็นที่รู้จักยิ่งในสาขาคณิตวิเคราะห์จากความถี่ในการใช้และพัฒนาอนุกรมกำลัง กล่าวคือการเขียนนิพจน์ของฟังก์ชันในรูปผลบวกของพจน์อนันต์^[71] อาทิ

$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}$$

ความรู้ด้านอนุกรมกำลังของอ็อยเลอร์ทำให้เขาสามารถแก้ปัญหาบาเซิลได้สำเร็จใน ค.ศ. 1735 (และเสนอบทพิสูจน์ที่ละเอียดขึ้นใน ค.ศ. 1741) ปัญหาบาเซิลนี้ตั้งขึ้นครั้งแรกโดยปิเอโตร เมนโกลี (Pietro Mengoli) ใน ค.ศ. 1644 และในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1730 ได้กลายเป็นปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียง ซึ่งได้รับการเผยแพร่โดยยาค็อพ แบร์นุลลี และมีนักคณิตศาสตร์ชั้นนำจำนวนมากในยุคนั้นพยายามแก้แต่ไม่สำเร็จ ในที่สุด อ็อยเลอร์พบว่า^[72][73][70]

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

อ็อยเลอร์เสนอค่าคงตัวต่อไปนี้

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772}$

ซึ่งในปัจจุบันเราเรียกว่าค่าคงตัวของอ็อยเลอร์หรือค่าคงตัวอ็อยเลอร์-มัสเกโรนี นอกจากนี้อ็อยเลอร์ยังศึกษาค่าคงตัวนี้และความเกี่ยวข้องกับอนุกรมฮาร์มอนิก ฟังก์ชันแกมมา และค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันบางค่าอีกด้วย^[74]

อ็อยเลอร์ได้เสนอการใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมมาใช้ในการพิสูจน์เชิงวิเคราะห์ อีกทั้งค้นพบวิธีแสดงฟังก์ชันลอการิทึมในรูปอนุกรมกำลัง และสามารถให้การนิยามลอการิทึมสำหรับจำนวนลบและจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งเป็นการขยายขอบเขตการประยุกต์เชิงคณิตศาสตร์ของการใช้ลอการิทึมอย่างมาก^[68] อ็อยเลอร์ได้ให้การนิยามฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนเชิงซ้อนและค้นพบความสัมพันธ์ของฟังก์ชันนั้นกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ สำหรับจำนวนจริงใด ๆ φ (ในหน่วยเรเดียน) สูตรของอ็อยเลอร์ระบุว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นไปตาม

$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

ซึ่งได้รับการเรียกว่า "สูตรที่น่ามหัศจรรย์ที่สุดในวงการคณิตศาสตร์" โดยริชาร์ด ไฟน์แมน^[75]

กรณีพิเศษของสูตรข้างต้นเป็นที่รู้จักในชื่อ เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

อ็อยเลอร์ได้พัฒนาทฤษฎีของฟังก์ชันอดิศัยพิเศษ โดยการเสนอฟังก์ชันแกมมา^[76][77] และการเสนอวิธีการใหม่สำหรับการแก้สมการกำลังสี่^[78] อ็อยเลอร์ค้นพบวิธีคำนวณหาปริพันธ์ที่มีขอบเขตเป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งเป็นการวางรากฐานสู่การพัฒนาการวิเคราะห์เชิงซ้อนสมัยใหม่ และยังเป็นผู้ริเริ่มแคลคูลัสของการแปรผันและได้กำหนดสมการอ็อยเลอร์–ลากร็องฌ์เพื่อใช้แปลงปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดในแขนงนี้ให้เป็นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

อ็อยเลอร์เป็นผู้บุกเบิกการใช้วิธีเชิงวิเคราะห์เพื่อการแก้ปัญหาทฤษฎีจำนวน โดยในการทำเช่นนั้น จึงได้เชื่อมโยงสองสาขาคณิตศาสตร์ที่เดิมแยกจากกันเข้าด้วยกันและได้เกิดการศึกษาแขนงใหม่คือทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ขึ้น ในการวางรากฐานให้กับแขนงใหม่นี้ อ็อยเลอร์ได้พัฒนาทฤษฎีอนุกรมไฮเพอร์จีออเมตริก อนุกรมคิว ฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบไฮเพอร์โบลิก และทฤษฎีเชิงวิเคราะห์ของเศษส่วนต่อเนื่องขึ้น อาทิ อ็อยเลอร์ได้พิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะนั้นมีอยู่นับไม่ถ้วน โดยอาศัยการลู่ออกของอนุกรมฮาร์มอนิกและใช้วิธีเชิงวิเคราะห์เพื่อทำความเข้าใจการกระจายของจำนวนเฉพาะ ผลงานของอ็อยเลอร์ในด้านนี้ได้นำไปสู่การพัฒนาทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ^[79]

ทฤษฎีจำนวน

ความสนใจของอ็อยเลอร์ในทฤษฎีจำนวนสามารถย้อนไปถึงอิทธิพลของคริสทีอัน ก็อลท์บัค^[80] ผู้เป็นเพื่อนในสถาบันแห่งเซนต์ปีเตอส์เบิร์ก^[61] ผลงานช่วงแรกของอ็อยเลอร์ว่าด้วยทฤษฎีจำนวนมีจำนวนมากที่พื้นฐานจากผลงานของปีแยร์ เดอ แฟร์มา อ็อยเลอร์ได้พัฒนาบางแนวคิดของแฟร์มาและได้หักล้างข้อความคาดการณ์บางประการของเขา อาทิ ข้อความคาดการณ์ที่ว่าจำนวนทุกจำนวนในรูป ${\textstyle 2^{2^{n}}+1}$ (จำนวนแฟร์มา) เป็นจำนวนเฉพาะ^[81]

อ็อยเลอร์ได้เชื่อมโยงธรรมชาติการกระจายของจำนวนเฉพาะเข้ากับแนวคิดเชิงคณิตวิเคราะห์ และพิสูจน์ว่าผลรวมส่วนกลับของจำนวนเฉพาะนั้นลู่ออก ในการทำเช่นนั้น อ็อยเลอร์ได้ค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันซีตาของรีมันกับจำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่อ สูตรผลคูณอ็อยเลอร์สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมัน^[82]

อ็อยเลอร์ได้คิดค้นฟังก์ชันทอเทียนต์ φ(n) ซึ่งเป็นจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนเต็ม n และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ n โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชันนี้ เขาได้วางนัยทั่วไปทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาให้เป็นผลลัพธ์ที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทของอ็อยเลอร์^[83] เขามีส่วนสำคัญยิ่งต่อทฤษฎีจำนวนสมบูรณ์ ซึ่งเป็นหัวข้อที่ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์มาตั้งแต่สมัยของยุคลิด เขาได้พิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ที่ปรากฏระหว่างจำนวนสมบูรณ์คู่กับจำนวนเฉพาะแมร์แซน (ซึ่งเขาได้พิสูจน์ไว้ก่อนหน้า) เป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทยุคลิด–อ็อยเลอร์^[84] อ็อยเลอร์ได้ตั้งข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับกฎส่วนกลับกำลังสอง ซึ่งแนวคิดนี้ถือเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานในทฤษฎีจำนวน และแนวคิดของเขาได้ปูทางสู่ผลงานของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ โดยเฉพาะผลงาน Disquisitiones Arithmeticae (งานค้นคว้าเชิงเลขคณิต)^[85] ใน ค.ศ. 1772 อ็อยเลอร์ได้พิสูจน์ว่า 2³¹ − 1 = 2,147,483,647 เป็นจำนวนเฉพาะแมร์แซน ซึ่งอาจยังคงเป็นจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดเท่าที่มีการค้นพบจนถึง ค.ศ. 1867^[86]

อ็อยเลอร์ยังมีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีการแบ่งส่วนของจำนวนเต็ม^[87]

ทฤษฎีกราฟ

ในปี ค.ศ. 1735 อ็อยเลอร์ได้เสนอคำตอบของข้อปัญหาที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค^[88] เคอนิชส์แบร์คเป็นเมืองในปรัสเซียซึ่งมีแม่น้ำเพรเกิลไหลผ่าน ทำให้เกิดเกาะขนาดใหญ่สองเกาะกลางแม่น้ำ มีสะพานเชื่อมเกาะและฝั่งทั้งหมดเจ็ดสะพาน ข้อปัญหาถามว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะเดินจากจุดเริ่มต้นแล้วข้ามทุกสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้น และสามารถกลับมาจุดเริ่มต้นได้ อ็อยเลอร์พิสูจน์ได้ว่าเป็นไปไม่ได้เพราะไม่มีเส้นทางแบบอ็อยเลอร์ บทพิสูจน์ข้อปัญหาดังกล่าวถือว่าเป็นทฤษฎีบทแรกของทฤษฎีกราฟ^[88]

อ็อยเลอร์ยังค้นพบสูตร ${\displaystyle V-E+F=2}$ ซึ่งเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนจุดยอด ${\displaystyle V}$, จำนวนเส้นขอบ ${\displaystyle E}$ และจำนวนหน้า ${\displaystyle F}$ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน^[89] ซึ่งใช้ได้กับกราฟเชิงระนาบด้วย ค่าคงตัวในสมการดังกล่าว (ในที่นี้คือ 2) ปัจจุบันเรียกว่าลักษณะเฉพาะอ็อยเลอร์ของกราฟ (หรือวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น) และสัมพันธ์กับสกุลของวัตถุนั้น^[90] การศึกษาสมการนี้และผลขยายนัยทั่วไปของสมการดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยโอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี^[91] และซีมง อ็องตวน ฌ็อง ลุยลีเย^[92] เป็นจุดเริ่มต้นของวิชาทอพอโลยี^[89]

ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์

บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ
กลศาสตร์ดั้งเดิม
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ กฎข้อที่สองของนิวตัน
ประวัติศาสตร์ เส้นเวลา ตำรา
สาขา กลศาสตร์เชิงสถิติ จลนพลศาสตร์ จลนศาสตร์ ทฤษฎีสนาม ท้องฟ้า ประยุกต์ พลศาสตร์ ภาวะต่อเนื่อง สถิตยศาสตร์
แนวคิดมูลฐาน กรอบอ้างอิง กรอบอ้างอิงเฉื่อย กำลัง การดล ความเฉื่อย / โมเมนต์ความเฉื่อย ความเร่ง ความเร็ว งาน งานเสมือน ทอร์ก ปริภูมิ พลังงาน จลน์ ศักย์ เวลา มวล โมเมนตัม โมเมนตัมเชิงมุม โมเมนต์ แรง แรงคู่ควบ หลักการดาล็องแบร์ อัตราเร็ว
การกำหนดกฎ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน กลศาสตร์วิเคราะห์ กลศาสตร์ลากร็องฌ์ กลศาสตร์แฮมิลตัน กลศาสตร์เราธ์ สมการแฮมิลตัน–ยาโคบี สมการการเคลื่อนที่ของอาแปล กลศาสตร์กุปมาน–ฟอน นอยมันน์
หัวข้อที่สำคัญ กรอบอ้างอิงเฉื่อย / กรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน กฎการเคลื่อนที่ของอ็อยเลอร์ กฎความโน้มถ่วงสากล การกระจัด การเคลื่อนที่ (เชิงเส้น) การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย การหน่วง การสั่น ความเร็วสัมพัทธ์ ตัวแกว่งกวัดฮาร์มอนิก แรงเทียม แรงเสียดทาน วัตถุแข็งเกร็ง พลศาสตร์ สมการอ็อยเลอร์ สมการการเคลื่อนที่
การหมุน กรอบอ้างอิงแบบหมุน การเคลื่อนที่แบบวงกลม ความถี่การหมุน แรงกอรียอลิส แรงสู่ศูนย์กลาง แรงหนีศูนย์กลาง ลูกตุ้ม อัตราเร็วเชิงเส้น การกระจัด / ความถี่ / ความเร่ง / ความเร็วเชิงมุม
นักวิทยาศาสตร์ เค็พเพลอร์ กาลิเลโอ เฮยเคินส์ นิวตัน ฮอร์รอกส์ ฮัลเลย์ โมแปร์ตุย ดานีเอล แบร์นุลลี โยฮัน แบร์นุลลี อ็อยเลอร์ ดาล็องแบร์ แกลโร ลากร็องฌ์ ลาปลัส ปัวซง แฮมิลตัน ยาโคบี โกชี เราธ์ ลียูวีล อาแปล กิบส์ กุปมาน ฟอน นอยมันน์
สถานีย่อยฟิสิกส์  หมวดหมู่: กลศาสตร์ดั้งเดิม
ด ค ก

ความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดบางประการของอ็อยเลอร์คือการแก้ปัญหาในในโลกความจริงด้วยวิธีเชิงวิเคราะห์ และการบรรยายการประยุกต์ของจำนวนแบร์นุลลี อนุกรมฟูรีเย จำนวนอ็อยเลอร์ ค่าคงตัว e และ π เศษส่วนต่อเนื่อง และการหาปริพันธ์จำนวนมาก เขาได้รวมแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ของไลบ์นิทซ์เข้ากับวิธีฟลักซ์ชันของนิวตัน และพัฒนาเครื่องมือที่ทำให้นำแคลคูลัสไปใช้กับปัญหาทางฟิสิกส์ง่ายขึ้น เขายังก้าวหน้าอย่างมากในการปรับปรุงการประมาณเชิงตัวเลขของการหาปริพันธ์ โดยคิดค้นวิธีที่ปัจจุบันเรียกว่าการประมาณอ็อยเลอร์ ซึ่งแบบที่สำคัญที่สุด ได้แก่ วิธีของอ็อยเลอร์^[93] และสูตรอ็อยเลอร์–แมคลอริน^[94][95][96]

อ็อยเลอร์มีส่วนช่วยในการพัฒนาสมการคานอ็อยเลอร์–แบร์นุลลี ซึ่งกลายเป็นรากฐานสำคัญของวิศวกรรมศาสตร์^[97] นอกจากการประยุกต์ใช้เครื่องมือเชิงวิเคราะห์ของเขากับปัญหาในกลศาสตร์ดั้งเดิมอย่างเป็นผลสำเร็จ อ็อยเลอร์ยังได้นำเทคนิคเหล่านี้ไปใช้กับปัญหาเกี่ยวกับท้องฟ้า ผลงานด้านดาราศาสตร์ของเขาได้รับการยกย่องด้วยรางวัลจากสถาบันแห่งปารีสหลายสมัยตลอดอาชีพ ความสำเร็จของเขารวมถึงการกำหนดวงโคจรของดาวหางและวัตถุท้องฟ้าอื่นได้อย่างแม่นยำ การทำความเข้าใจธรรมชาติของดาวหาง และการคำนวณพารัลแลกซ์ของดวงอาทิตย์ นอกจากนี้ การคำนวณของเขายังมีส่วนช่วยในการพัฒนาตารางลองจิจูดที่มีความแม่นยำ^[98]

อ็อยเลอร์มีส่วนสำคัญในสาขาทัศนศาสตร์^[99] เขาไม่เห็นด้วยกับทฤษฎีอนุภาคของแสงของนิวตัน^[100] ซึ่งเป็นทฤษฎีที่ได้รับความนิยมในขณะนั้น งานเขียนด้านทัศนศาสตร์ของเขาในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1740 มีส่วนช่วยทำให้ทฤษฎีคลื่นของแสงที่เสนอโดยคริสตียาน เฮยเคินส์ กลายเป็นแนวคิดหลัก อย่างน้อยจนกระทั่งการพัฒนาทฤษฎีควอนตัมของแสงในเวลาต่อมา^[101]

ในพลศาสตร์ของไหล อ็อยเลอร์เป็นคนแรกที่ทำนายปรากฏการณ์โพรงอากาศใน ค.ศ. 1754 ซึ่งเกิดขึ้นเป็นเวลานานก่อนการสังเกตครั้งแรกในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 และจำนวนอ็อยเลอร์ที่ใช้ในการคำนวณการไหลของของไหลมีที่มาจากผลงานของเขาที่ว่าด้วยประสิทธิภาพของกังหัน^[102] ใน ค.ศ. 1757 อ็อยเลอร์ได้ตีพิมพ์ชุดสมการสำคัญสำหรับการไหลไร้ความหนืด ซึ่งในปัจจุบันเรียกว่า สมการอ็อยเลอร์^[103]

อ็อยเลอร์เป็นที่รู้จักในวิศวกรรมโครงสร้างจากสูตรที่ให้ภาระวิกฤตของอ็อยเลอร์ ซึ่งเป็นภาระการโก่งเดาะวิกฤตของเสาอุดมคติ โดยค่านั้นขึ้นอยู่เพียงกับความยาวของเสาและความแข็งตึงการดัดของเสา^[104]

ตรรกศาสตร์

อ็อยเลอร์ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ใช้เส้นโค้งปิดเพื่อแสดงการใช้เหตุผลด้วยตรรกบท (ค.ศ. 1768) แผนภาพเหล่านี้จึงเป็นที่รู้จักในชื่อ แผนภาพอ็อยเลอร์^[105]

แผนภาพอ็อยเลอร์เป็นวิธีการแทนเซตและความสัมพันธ์ระหว่างเซตด้วยแผนภาพ แผนภาพอ็อยเลอร์ประกอบด้วยเส้นโค้งปิดอย่างง่าย (โดยทั่วไปเป็นวงกลม) บนระนาบ เพื่อแสดงเซต แต่ละเส้นโค้งอ็อยเลอร์นั้นแบ่งระนาบออกเป็นสองบริเวณหรือ "เขต" ได้แก่ บริเวณภายใน ซึ่งแทนสมาชิกของเซต และบริเวณภายนอก ซึ่งแทนสมาชิกที่ไม่อยู่ในเซตนั้น ขนาดหรือรูปร่างของเส้นโค้งไม่เป็นสิ่งสำคัญ ความสำคัญของแผนภาพอยู่ที่ลักษณะการซ้อนทับกันของเส้นโค้ง ความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ระหว่างบริเวณที่ปิดล้อมโดยเส้นโค้งแต่ละเส้น (การทับซ้อน การบรรจุอยู่ภายใน หรือไม่เกี่ยวข้องกันเลย) สอดคล้องกับความสัมพันธ์ทางทฤษฎีเซต (อินเตอร์เซกชัน เซตย่อย และความไม่มีส่วนร่วม) เส้นโค้งที่บริเวณภายในไม่มีส่วนร่วมกันแทนเซตไม่มีส่วนร่วม ส่วนเส้นโค้งสองเส้นที่เขตภายในมีส่วนร่วมกัน แทนเซตที่มีสมาชิกบางส่วนร่วมกัน เขตที่อยู่ภายในทั้งสองเส้นโค้งพร้อมกันจะแทนสมาชิกที่เป็นส่วนร่วมของทั้งสองเซต เส้นโค้งที่อยู่ภายในเส้นโค้งอีกเส้นหนึ่งทั้งหมดนั้นแทนเซตย่อยของเซตนั้น

แผนภาพอ็อยเลอร์ (และพัฒนาต่อยอดเป็นแผนภาพเวนน์) ได้รับการนำไปใช้เป็นส่วนหนึ่งของการสอนทฤษฎีเซตของกระแสคณิตศาสตร์ใหม่ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1960^[106] นับแต่เวลานั้น แผนภาพเหล่านี้ก็ได้รับการใช้อย่างแพร่หลายในฐานะวิธีการสร้างภาพนามธรรมของการผสมลักษณะเฉพาะ^[107]

ประชากรศาสตร์

ในบทความ ค.ศ. 1760 การค้นคว้าทั่วไปว่าด้วยภาวะการตายและการเพิ่มของประชากรมนุษย์ (A General Investigation into the Mortality and Multiplication of the Human Species) อ็อยเลอร์ได้สร้างแบบจำลองที่แสดงให้เห็นว่าประชากรซึ่งมีอัตราเจริญพันธุ์และอัตราการตายคงที่สามารถเติบโตเชิงเรขาคณิตได้โดยใช้สมการเชิงผลต่าง ภายใต้การเติบโตเชิงเรขาคณิตนี้ อ็อยเลอร์ได้ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างดัชนีประชากรซึ่งแสดงให้เห็นว่าสามารถนำมาใช้ประมาณค่าข้อมูลในกรณีที่ข้อมูลสังเกตขาดหายได้อย่างไร ราว 150 ปีต่อมา บทความสามชิ้นของอัลเฟรด เจ. ลอตกา (ค.ศ. 1907, 1911 (ร่วมกับเอฟ. อาร์. ชาร์ป) และ 1922) ได้นำแนวทางที่คล้ายกันของอ็อยเลอร์มาใช้และพัฒนาเป็นแบบจำลองประชากรคงรูป ซึ่งถือเป็นจุดเริ่มต้นของการสร้างแบบจำลองประชากรรูปนัยของคริสต์ศตวรรษที่ 20^{[108][109][110][111][112][113]}

ดนตรี

หนึ่งในความสนใจที่ค่อนข้างแปลกของอ็อยเลอร์คือการประยุกต์แนวคิดทางคณิตศาสตร์ในดนตรี ใน ค.ศ. 1739 เขาได้เขียนผลงาน Tentamen novae theoriae musicae (การทดลองว่าด้วยทฤษฎีดนตรีใหม่) โดยหวังว่าสามารถรวมทฤษฎีดนตรีให้เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ได้ในที่สุด แต่งานส่วนนี้ของเขาไม่ได้รับความสนใจอย่างกว้างขวางและเคยถูกบรรยายว่ามีความเป็นคณิตศาสตร์มากไปสำหรับนักดนตรี และมีความเป็นดนตรีมากไปสำหรับนักคณิตศาสตร์^[114] แม้เมื่อกล่าวถึงดนตรี การเข้าหาของอ็อยเลอร์ยังคงเป็นในเชิงคณิตศาสตร์เป็นหลัก^[115] อาทิ การนำลอการิทึมฐานสองมาใช้เพื่อบรรยายเชิงตัวเลขของการแบ่งช่วงคู่แปดออกเป็นส่วนย่อย^[116] งานเขียนด้านดนตรีของอ็อยเลอร์มีจำนวนไม่มาก (เพียงร้อยหน้าเศษจากผลงานทั้งหมดราวนับสามหมื่นหน้า) แต่สะท้อนให้เห็นถึงความสนใจในช่วงแรกและเป็นความสนใจที่ติดตัวไปตลอดชีวิต^[115]

จุดเริ่มต้นหนึ่งของทฤษฎีดนตรีของอ็อยเลอร์คือการนิยาม "แนว" (genre /ฌ็องเรอ/) กล่าวคือ วิธีการแบ่งช่วงคู่แปดที่เป็นไปได้โดยอาศัยจำนวนเฉพาะ 3 และ 5 อ็อยเลอร์ได้บรรยายไว้ทั้งหมด 18 แนว ซึ่งมีรูปนิยามทั่วไปเป็น 2^mA โดยที่ A เป็น "เลขชี้กำลัง" ของแนวนั้น (กล่าวคือผลรวมเลขชี้กำลังของ 3 และ 5) และ 2^m (โดยที่ "m เป็นจำนวนที่ไม่มีกำหนดขนาด เล็กหรือใหญ่ ตราบเท่าที่เสียงสามารถรับรู้ได้"^[117]) แสดงว่าความสัมพันธ์นี้ไม่ขึ้นกับจำนวนช่วงคู่แปดที่พิจารณา แนวทั้งหมด ได้แก่ แนวที่หนึ่ง เมื่อ A = 1 คือช่วงคู่แปด (หรือคู่ซ้ำของตัวเอง) แนวที่สอง 2^m.3 คือช่วงคู่แปดที่แบ่งด้วยขั้นคู่ที่ห้า (ขั้นคู่ที่สี่ + ขั้นคู่ที่ห้า, C–G–C) แนวที่สามคือ 2^m.5 ขั้นคู่ที่สามเมเจอร์ + ขั้นคู่ที่หกไมเนอร์ (C–E–C) แนวที่สี่คือ 2^m.3² สองขั้นคู่ที่สี่และหนึ่งโน้ต (C–F–B♭–C) แนวที่ห้าคือ 2^m.3.5 (C–E–G–B–C) เป็นต้น แนวที่ 12 (2^m.3³.5) แนวที่ 13 (2^m.3².5²) และแนวที่ 14 (2^m.3.5³) เป็นรูปปรับแก้ของไดอะทอนิก โครมาติก และเอนฮาร์มอนิก ตามลำดับ ของแนวคิดโบราณ แนวที่ 18 (2^m.3³.5²) คือ "ไดอะทอนิก-โครมาติก" ซึ่ง "ใช้โดยทั่วไปในการบทประพันธ์ทั้งหมด"^[118] ซึ่งปรากฏว่าเหมือนกับระบบที่บรรยายโดยนักทฤษฎีดนตรีชาวเยอรมัน โยฮัน มัทเทโซน (Johann Mattheson)^[119] ต่อมาอ็อยเลอร์ได้คิดความเป็นไปได้ของการบรรยายแนวที่รวมจำนวนเฉพาะ 7 เข้าไป^[120]

อ็อยเลอร์คิดค้นกราฟจำเพาะขึ้นเรียกว่า Speculum musicum^[121][122] เพื่อนิทัศน์แนวไดอะทอนิก-โครมาติก และได้อภิปรายเส้นทางในกราฟนี้สำหรับขั้นคู่เสียงจำเพาะ สะท้อนถึงความสนใจในสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค (ดูที่กล่าวไว้ข้างต้น) แนวคิดดังกล่าวได้รับความสนใจอีกครั้งในฐานะโทนเน็ทซ์ (Tonnetz) ในทฤษฎีแบบนีโอ-รีมัน (ดูเพิ่ม แลตทิซ (ดนตรี))^[123]

อ็อยเลอร์นำหลักของ "เลขชี้กำลัง" มาใช้เพื่อเสนอวิธีการแปลง gradus suavitatis (ระดับความไพเราะหรือระดับความกลมกลืน) ของขั้นคู่เสียงและคอร์ดจากตัวประกอบเฉพาะ โดยควรคำนึงว่าพิจารณาในระบบเสียงธรรมชาติ (just intonation) กล่าวคือใช้เพียง 1 และจำนวนเฉพาะ 3 และ 5 เท่านั้น^[124] ต่อมาได้เสนอสูตรที่ขยายระบบนี้ให้ครอบคลุมจำนวนเฉพาะใด ๆ ได้ อาทิ

$${\displaystyle \ ds=\sum _{i}\left(k_{i}\cdot p_{i}-k_{i}\right)+1\ }$$ โดยที่ p_i คือจำนวนเฉพาะและ k_i คือเลขชี้กำลังของจำนวนเฉพาะนั้น^[125]

การยอมรับ

อ็อยเลอร์ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล และมีความเป็นไปได้สูงว่าเป็นผู้สร้างสรรค์ผลงานมากที่สุดต่อสาขาวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์^[7] นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ จอห์น ฟอน นอยมันน์ขนานนามอ็อยเลอร์ว่า "ยอดนักดนตรีที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งยุค"^[132] นักคณิตศาสตร์ ฟร็องซัว อาราโกกล่าวว่า "อ็อยเลอร์คำนวณได้โดยไม่ต้องพยายามใด ๆ เปรียบดั่งชายที่เพียงหายใจและดั่งอินทรีที่เพียงลอยตัวอยู่ในอากาศ"^[133] โดยทั่วไป เขาได้รับการจัดลำดับให้อยู่รองจากคาร์ล ฟรีดริช เกาส์, ไอแซก นิวตัน และอาร์คิมิดีส ซึ่งอยู่ในบรรดานักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล^[133] ขณะที่บางความเห็นจัดลำดับเขาอยู่ในระดับเดียวกับบุคคลเหล่านั้น^[134] นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ อ็องรี ปวงกาเรขนานนามอ็อยเลอร์ว่า "เทพแห่งคณิตศาสตร์"^[135]

นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส อ็องเดร แวย์ (André Weil) ได้เขียนไว้ว่าอ็อยเลอร์อยู่เหนือบรรดาผู้ร่วมสมัยและไม่มีผู้ใดสามารถตั้งตนเป็นกำลังหลักของคณิตศาสตร์ในยุคได้เทียบเท่าเขา^[132]

ไม่เคยมีนักคณิตศาสตร์ผู้ใดที่สามารถครองสถานะผู้นำอย่างไร้ข้อโต้แย้งในทุกสาขาของคณิตศาสตร์ทั้งบริสุทธิ์และประยุกต์ ได้เช่นเดียวกับที่อ็อยเลอร์ทำได้ตลอดช่วงเวลาส่วนใหญ่ของคริสต์ศตวรรษที่สิบแปด

นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส นิโคลัส ฟูสได้กล่าวถึงความทรงจำอันยอดเยี่ยมและความรู้อันกว้างขวางของอ็อยเลอร์ว่า^[4]

ความรู้ที่เราเรียกว่าคงแก่เรียนไม่ได้เป็นศัตรูกับเขาเลย เขาได้อ่านนักเขียนชาวโรมันผู้สำคัญทั้งหมด รู้ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ยุคโบราณอย่างสมบูรณ์ จดจำเหตุการณ์ทางประวัติศาสตร์ของทุกยุคสมัยและทุกชนชาติไว้ได้ และสามารถยกตัวอย่างเหตุการณ์ทางประวัติศาสตร์แม้เพียงเล็กน้อยได้โดยไม่ลังเล เขายังมีความรู้ด้านการแพทย์ พฤกษศาสตร์ และเคมีมากกว่าที่คาดจากผู้ที่ไม่ได้ทำงานเฉพาะทางในสาขาวิทยาศาสตร์นั้น

การรำลึก

อ็อยเลอร์ปรากฏอยู่บนธนบัตร 10 ฟรังก์สวิสทั้งชุดธนบัตรที่หก^[136] และเจ็ด^[137] รวมทั้งบนดวงตราไปรษณีย์จำนวนมากของสวิตเซอร์แลนด์ เยอรมนี และรัสเซีย ใน ค.ศ. 1782 เขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกกิตติมศักดิ์ต่างประเทศของสถาบันศิลปะและวิทยาศาสตร์อเมริกัน^[138] นอกจากนี้ ดาวเคราะห์น้อย 2002 อ็อยเลอร์ นั้นได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา^[139]

บรรณานุกรม