ฟังก์ชันถ่ายโอน

ฟังก์ชันถ่ายโอน (transfer function) หรือ ฟังก์ชันระบบ (system function)^[1] เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการวิเคราะห์ในทฤษฎีระบบควบคุม โดยใช้ทฤษฎีฟังก์ชันเชิงซ้อน เช่น การแปลงลาปลัส หรือ การแปลง Z

ภาพรวม

ฟังก์ชันถ่ายโอน เป็นฟังก์ชันที่แปลงค่าป้อนเข้าของระบบเป็นค่าขาออก ฟังก์ชันถ่ายโอนแสดงเป็นอัตราส่วนของระหว่างการแปลงลาปลัส (หรือ การแปลง Z) ของค่าขาออกและค่าป้อนเข้าของระบบควบคุม เมื่อค่าเริ่มต้นทั้งหมดถูกตั้งค่าเป็น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในกรณีของระบบต่อเนื่อง หากให้การแปลงลาปลัสของสัญญาณขาออก ${\displaystyle y(t)}$ เป็น ${\displaystyle Y(s)}$ และการแปลงลาปลัสของสัญญาณป้อนเข้า ${\displaystyle x(t)}$ เป็น ${\displaystyle X(s)}$ ฟังก์ชันถ่ายโอน ${\displaystyle G(s)}$ จะแสดงได้เป็น

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left[y(t)\right]}{{\mathcal {L}}\left[x(t)\right]}}}$

สำหรับระบบแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันถ่ายโอนจะนิยามโดยการแปลง Z ดังนี้

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\left[y(n)\right]}{{\mathcal {Z}}\left[x(n)\right]}}}$

วิธีฟังก์ชันถ่ายโอนใช้ในการวิเคราะห์ลักษณะเฉพาะและเสถียรภาพของระบบโดยการโยงฟังก์ชันในโดเมนเวลาลงบนระนาบเชิงซ้อน โดยใช้การแปลงลาปลัส (หรือการแปลง Z) แล้วแปลงเป็นโดเมนความถี่ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากวิธีนี้ใช้ได้อยู่แค่กับในกรณีที่ระบบที่กำลังพิจารณามีค่าป้อนเข้าค่าเดียวและค่าขาออกค่าเดียว (ฟังก์ชันเชิงเส้น) ดังนั้นในการวิเคราะห์ระบบที่ซับซ้อน (มีค่าป้อนเข้าหรือค่าขาออกหลายตัว รวมถึงระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น) จึงมักใช้วิธีการแทนปริภูมิสถานะ อย่างไรก็ตาม วิธีการฟังก์ชันถ่ายโอนยังคงเป็นทฤษฎีสำคัญที่เป็นพื้นฐานของ ทฤษฎีระบบควบคุมจนถึงตอนนี้

ฟังก์ชันถ่ายโอนเชิงความถี่

ถ้าให้ ${\displaystyle s}$ เป็น ${\displaystyle j\omega }$ จะได้ฟังก์ชันถ่ายโอนเชิงความถี่ แสดงเป็น ${\displaystyle G(j\omega )}$ เนื่องจากฟังก์ชันถ่ายโอนเชิงความถี่เป็นจำนวนเชิงซ้อน จึงสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle G(j\omega )={\rm {Re}}\{G(j\omega )\}+j~{\rm {Im}}\{G(j\omega )\}=|G(j\omega )|e^{j\angle G(j\omega )}}$

สามารถวาดเป็นแผนภาพนือควิสต์ แผนภาพโบเด หรือ แผนภูมินิคอลส์ เพื่อดูลักษณะเฉพาะสำหรับทำการวิเคราะห์ได้

ค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันการถ่ายโอนเชิงความถี่ ${\displaystyle |G(j\omega )|}$ เรียกว่า อัตราขยาย และอาร์กิวเมนต์ ${\displaystyle \angle G(j\omega )}$ เรียกว่า เฟส (มุมเฟส)

ฟังก์ชันถ่ายโอนขององค์ประกอบต่าง ๆ

องค์ประกอบปริพันธ์

${\displaystyle G(s)={\frac {k}{s}}}$

องค์ประกอบช้าอันดับหนึ่ง

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{Ts+1}}}$

องค์ประกอบอนุพันธ์

${\displaystyle G(s)=Ts}$

องค์ประกอบเวลาสูญเปล่า

${\displaystyle G(s)=e^{-s\tau }}$

องค์ประกอบช้าอันดับสอง

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}}}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}{}^{2}}}\quad (\zeta <1)}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K}{s(Ts+1)}}}$

อ้างอิง